Задача
Мортеза отметил на плоскости шесть точек и нашел площади всех 20 треугольников с вершинами в этих точках. Может ли оказаться, что все полученные числа целые, а их сумма равна 2019?
Решение
Рассмотрим любые четыре из отмеченных точек. Если они образуют выпуклый четырехугольник $ABCD$, то $S_{ABC}+S_{ACD}=S_{ABD}+S_{BCD}$. Если же одна из точек лежит внутри треугольника, образованного тремя другими, то площадь этого треугольника равна сумме площадей трех внутренних. Таким образом, в любом случае сумма площадей четырех треугольников с вершинами в рассматриваемых точках будет четной. Если просуммировать такие суммы по всем четверкам, то площадь каждого треугольника будет посчитана трижды, следовательно, сумма площадей всех 20 треугольников также четна.
Ответ
Нет.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь