Задача
Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы $a(x) + b(x)$, где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
а) ровно одним способом?
б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
Решение
Пусть ненулевой многочлен $P$ представим в виде суммы квадратов двух многочленов, то есть $P = F^2 + G^2$. Заметим, что $F^2 + G^2 = (cF + sG)^2 + (sF - cG)^2$, где $c$ = cos α, $s$ = sin α.
Полагая $0 \leqslant\alpha < \frac{π}{2}$, получим бесконечно много представлений.
Допустим, какие-то два из них совпадут, то есть $(c_1F + s_1G)^2 = (c_2F + s_2G)^2$ или $(c_1F + s_1G)^2 = (s_2F - c_2G)^2$. Перенося влево и раскладывая на множители, получим, что какая-то из скобок равна нулю в бесконечном числе точек, следовательно, в ней стоит нулевой многочлен. Посмотрим на коэффициенты перед $F$ и $G$ в этой скобке. Хотя бы один из них не равен нулю, так как числа $c_1 + c_2, c_1-c_2, c_1 + s_2, s_1+c_2$ ненулевые. Значит, $F$ и $G$ линейно зависимы. Можно считать, что $G = tF$ для некоторого числа $t$. Тогда $P = (1 + t^2)F^2$. Поскольку $F$ – ненулевой, то, по-разному раскладывая $1 + t^2$ в сумму квадратов двух чисел, получим бесконечное число представлений многочлена $P$.
Ответ
Не существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь