а) Пусть Вася действует так: если Петя называл чётное число, Вася его и записывает, а если Петя назвал нечётное — записывает сумму его и всех чисел на доске. Тогда Вася может записать на доску нечётное число лишь один раз — когда Петя впервые назвал нечётное число. Значит, на доске будет написано не более одного нечётного числа, и тем самым не более одной пятёрки.

б) Как Пете добиться того, чтобы Вася написал на доске число 10:

1. Если сумма чисел на доске равна 0, то Петя называет число 10, и Вася обязан написать 10.
2. Если сумма чисел на доске равна $-5$, то Петя называет число 10, и Вася либо пишет число 10, либо пишет число 5 и попадает в ситуацию (1).
3. Если сумма чисел на доске равна 5, то Петя называет число $-10$, и Вася либо пишет число $-5$ и попадает в ситуацию (1), либо пишет число $-10$ и попадает в ситуацию (2).
4. Если сумма чисел на доске равна 10, то Петя называет число $-15$, и Вася либо пишет число $-15$ и попадает в ситуацию (2), либо пишет число $-5$ и попадает в ситуацию (3).

Заметим, что если на доске другая сумма чисел, скажем $n$, то Петя может назвать число $-n+10$, и Вася либо напишет число 10, либо попадёт в ситуацию (4). Таким образом, имея любой набор чисел на доске, мы можем в итоге заставить Васю написать 10. Значит, мы сможем сделать так, чтобы на доске было 100 десяток.

а) Нет, не сможет. б) Да, сможет.