Пример. Условию задачи, очевидно, удовлетворяют числа 1, 1, 2!, 3!, ..., 2019!, так как при любом натуральном $k$ число  $(k+2)!$  делится как на  $(k+1)!$,  так и на  $(k + 1)! + k! = k!(k + 2)$.   Оценка. Пусть $a,b,c$ – три подряд идущих числа в строке, но не первые три числа. Докажем, что  $\frac{c}{b}\geqslant \frac{b}{a}+1$.  По условию  $\frac{b}{a} = x$,  $\frac{c}{b} = y$,  где $x$ и $y$ натуральные. Тогда  $c = by = axy$,  причём $c$ делится на  $b + a = ax + a = a(x + 1)$.  Получаем, что $axy$ делится на  $a(x + 1)$,  откуда $xy$ делится на $x+1$, и так как $x$ и  $x + 1$  взаимно просты, $y$ делится на  $x + 1$,  то есть  $y \geqslant x + 1$,  что и требовалось.

  Заметим, что  $a_1, a_2$ ≥ 1,  $a_3 > a_2$  (оно делится на  $a_1 + a_2$),  а значит,  $a_3$ ≥ 2$a_2$  (оно делится на него и не равно ему). По доказанному выше  $a_4$ ≥ 3$a_3$,  $a_5$ ≥ 4$a_4$,  ..., откуда по индукции получаем,

что  $a_k$ ≥ ($k$ – 1)!  при всех натуральных $k$.

2019!.