Задача
На плоскости даны восемь точек общего положения. В ряд выписали площади всех 56 треугольников с вершинами в этих точках. Докажите, что между выписанными числами можно поставить знаки «$+$» и «$-$» так, чтобы полученное выражение равнялось нулю.
Решение
Заметим, что утверждение задачи верно для любых четырех точек. Действительно, если точки образуют выпуклый четырехугольник $ABCD$, то $S_{ABC}+S_{ACD}-S_{BCD}-S_{ABD}=0$. Если же точка $D$ лежит внутри треугольника $ABC$, то $S_{ABC}-S_{ABD}-S_{ACD}-S_{BCD}=0$.
Поставим теперь в соответствие данным точкам вершины куба $ABCDA'B'C'D'$ и рассмотрим следующие 14 четверок его вершин: шесть граней куба, шесть сечений, проходящих через противоположные ребра, и два вписанных в куб тетраэдра $AB'CD'$, $A'BC'D$. Любые две из этих четверок имеют не больше двух точек, значит, каждый из 56 треугольников входит ровно в одну четверку. Поэтому, расставив знаки для каждой четверки, мы получим искомую расстановку.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь