Найдите углы плитки в задачах по олимпиадной математике

В центре мозаики 6 одинаковых углов с общей вершиной образуют полный угол, значит, каждый из них равен 360^∘ : 6 = 60^∘.

Несколько правее полный угол в 360^∘ складывается из уже известного нам угла 60^∘ и ещё двух равных между собой — следовательно, они составляют по 150^∘.

Аналогичным образом вычисляестя ещё один угол: он равен (360^∘ − 150^∘) : 2 = 105^∘.

Последний угол плитки можно вычислить, зная сумму углов четырёхугольника, либо же с помощью ещё одной вершины мозаики: (360^∘ − 150^∘ − 2 · 60^∘) : 2 = 45^∘. Таким образом, углы плитки равны 45^∘, 60^∘, 105^∘ и 150^∘.

Комментарии.

1. Заметим также, что такую плитку одна из диагоналей делит на равносторонний и прямоугольный равнобедренный треугольники.

2. Разбиение плоскости на многоугольники без дырок и наложений называется замощением. Замощения бывают как периодические (есть два разных направления, при сдвиге в каждом из которых замощение совмещается само с собой) и непериодические (таких сдвигов нет). В задаче приведена часть непериодического замощения плоскости такими четырехугольными плитками, которое придумал Gábor Damásdi. Но такими четырехугольниками можно замостить плоскость и периодически (придумайте, как — комментарий 1 поможет). А бывает ли многоугольник, которым можно замостить плоскость только непериодически? Это не известно!

45^∘, 60^∘, 105^∘и 150^∘.