Задача
Эллипс $\Gamma_1$ c фокусами в серединах сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $A$, а эллипс $\Gamma_2$ c фокусами в серединах сторон $AC$ и $BC$ проходит через вершину $C$. Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.
Решение
Пусть $B_0$ – середина $AC$. Директрисы $d_1$, $d_2$ эллипсов $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, соответствующие фокусу $B_0$, параллельны его высотам $AH$, $CH$. Следовательно, расстояния от $H$ до $d_1$ и $d_2$ равны расстояниям до этих прямых от точек $A$ и $C$ соответственно. Поскольку $AB_0=CB_0$, отношение этих расстояний обратно отношению эксцентриситетов эллипсов. Так как для точек пересечения эллипсов отношение расстояний до директрис такое же, три точки лежат на одной прямой.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь