Закрашенные области и новые прямые: комбинаторная геометрия, 7–11 клас
Задача
Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.
Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.
Решение
Введём систему координат так, чтобы новая прямая была осью $Oy$. Рассмотрим верхнюю среди самых левых точек пересечения нескольких прямых, назовём её $A$. Рассмотрим лучи прямых, проходящих через $A$, лежащие в левой полуплоскости относительно вертикальной прямой $l$, проходящей через $A$, а также вертикальный луч, идущий вверх, если такой есть.
Среди всех этих лучей выберем два соседних. Они будут образовывать
закрашенный угол, так как иначе бы нашлась точка пересечения, лежащая
левее $A$ либо лежащая на $l$ выше $A$. Поскольку хотя бы один из
лучей лежит в левой полуплоскости относительно $l$, его точки будут
лежать левее оси $Oy$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь