Квадраты на гипотенузе и равные площади. Задание по олимпиадной матема
Задача
В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся гипотенузы $AB$ в точке $T$. Квадраты $ATMP$ и $BTNQ$ лежат вне треугольника. Докажите, что площади треугольников $ABC$ и $TPQ$ равны.
Решение
Пусть $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, $AT=p-a$, $BT=p-b$. Тогда радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $p-c$, а его площадь $$ S=p(p-c)=\frac{S^2}{(p-a)(p-b)}=(p-a)(p-b). $$ Поскольку треугольник $PTQ$ – прямоугольный с катетами $PT=\sqrt{2}(p-a)$, $TQ=\sqrt{2}(p-b)$, его площадь тоже равна $(p-a)(p-b)$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет