Решение 1:  Случай $n$ = 1 очевиден.  В случае $n$ = 2 положим на чаши по одной монете. В случае равновесия добавим в пару к каждой одну из не взвешенных монет. В противном случае пары образуют две взвешенные и две невзвешенные монеты.   В случае $n$ = 3 у нас есть 6 монет $A, B, C, D, E, F$. Сначала сравним $A$ и $B$, потом $C$ и $D$. Если оба раза весы в равновесии, то нужные пары – $(A, C), (B, D), (E, F)$. Если оба раза равновесия нет, нужные пары – $(A, B), (C, D), (E, F)$. Если равновесия не будет один раз, например при первом взвешивании, то нужные пары – $(A, B), (C, E), (D, F)$.   Пусть $n$ ≥ 4. Уменьшим мысленно веса всех монет на 9 г: теперь они весят 0 и 1 г. Поскольку мы всегда будем класть на чаши весов поровну монет, на результаты взвешиваний это не повлияет. Общий вес всех монет теперь равен $n$ г.   Разобьём монеты на $n$ пар, а затем приведём алгоритм разбиения пар на сравнимые цепочки вида $a = a = ... = a > b = b = ... = b$ или $c = c = ... = c$ и на отдельные пары известного веса.  Алгоритм. Будем сравнивать первую пару с остальными, пока не получим неравные пары. Взвешенные пары образуют цепочку $a = a = ... = a > b$ или $a > b = b = ... = b$ (буквами обозначены веса пар). Отложим взвешенные пары и, проделав то же с оставшимися, получим вторую цепочку с неравенством, скажем $c = c = ... = c > d$. Сравним $a + b$ с $c + d$. Равенство означает $a = c, b = d$. Тогда две цепочки объединяются в одну $a = ... = a > b = ... = b$, и мы продолжаем поиск цепочки среди оставшихся невзвешенными пар. Заметим, что число взвешиваний с парами цепочки на 1 меньше длины цепочки.  Главный случай. Если при сравнении получилось неравенство, скажем, $a + b > c + d$, то $а$ = 2, а $d$ = 0. Взяв из этих пар по одной монете, создадим пару $p$ = 1. Сравнив каждую из невзвешенных пар с $p$, найдём их веса. Мы провели всего $n$ – 1 взвешивание и теперь знаем веса пар вида $a$, вида $d$ и пар вне цепочек. Тем самым мы знаем общий вес пар видов $b$ и $c$ в цепочках. Их число нам тоже известно: $k$ пар вида $b$ и $m$ пар вида $с$. Возможны три случая: 1) $b = c$ = 1; 2) $b$ = 1, $c$ = 2; 3) $b$ = 0, $c$ = 1. Соответственно, их общий вес $k + m, k + 2m$ или $m$. Но $m < k + m < k + 2m$ – из трёх вариантов подойдёт лишь один. А зная веса пар, легко разложить монеты нужным образом.  Цепочка неравенств + цепочка равенств. $a = ... = a > b = ... = b, c = c = ... = c$ (это значит, что невзвешенных пар не осталось). Пусть есть $k$ пар $a, m$ пар $b$ и $r$ пар $c$. Для весов $a, b, c$ возможны 9 случаев, сведённых в таблицу. Напомним, что общий вес всех монет равен $n = k + m + r$. Поэтому четыре «красных» строки невозможны.  В остальных строках это равенство приводится к виду, записанному в пятом столбце. Если выполнено ровно одно из этих равенств, мы нашли веса $a, b, c$. Больше двух равенств могут быть выполнены в трёх случаях. Но мы провели только $n$ – 2 взвешивания и дополнительное взвешивание поможет их различить.   1) $k = m = r$. Сравнив дополнительно $a + b$ с $c + c$ (заметим, что $r$ > 1, поэтому две пары $c$ у нас есть), мы различим три случая в «синих» строках (2-я, 5-я и 8-я).   2) $k = r, k + r = m$. Сравнив дополнительно $b$ с $c$, мы отличим 2-ю и 7-ю строки.   3) $m = r, k = m + r$. Сравнив дополнительно $a$ с $c$, мы отличим 3-ю и 8-ю строки. Одна цепочка неравенств: $a = ... = a > b = ... = b$ возможна только в случае $a$ = 2, $b$ = 0. Одна цепочка равенств: $a = ... = a$ возможна только в случае $a$ = 1.  Замечание. Случай $n$ = 2 можно отдельно не разбирать: он подходит под общий случай.

Решение 2:  Если $n$ = 1, то монеты уже образуют нужную пару, достаточно 0 взвешиваний. Поэтому далее будем считать, что $n$ > 1.   Пары монет с суммарными весами 20, 19, 18 г будем называть тяжёлыми, средними, лёгкими соответственно. Далее приведём явный алгоритм.   Разобьём монеты на $n$ пар произвольным образом, далее возьмём одну из этих пар и будем последовательно сравнивать с остальными парами до тех пор, пока не будет получено неравновесие. Если оно так и не будет получено, то все $n$ пар одинаковы, и значит они все средние (так как 20-граммовых и 18-граммовых пар одинаковое количество), то есть уже получено искомое разбиение.   Поэтому далее будем считать, что неравновесие встретится, причём первая пара в этом взвешивании тяжелее (другой случай аналогичен: надо поменять в рассуждении 20-граммовые пары с 18-граммовыми, тяжёлые пары с лёгкими и т.п.).   Тяжёлых и лёгких пар одинаковое количество. Если уже сделано $n$ – 1 взвешивание, то все пары, кроме одной («последней») одинаковые, причём эта пара легче остальных. Это возможно только при $n$ = 2 (иначе пар какого-то типа – одна, какого-то типа – $n$ – 1 > 1, а какого-то 0, т.е. тяжёлых и лёгких пар не поровну). В этом случае понятно, что «первая» пара тяжёлая, а «последняя» – лёгкая; беря по монете из этих пар, формируем 2 нужные пары. Тогда далее будем считать что сделано $a$ + 1 < $n$ – 1 взвешиваний (получено $a$ равновесий, возможно $a$ = 0), в частности, $n > a$ + 2 ≥ 2. Обозначим через $A, B$ монеты «первой» пары, а через $C, D$ – монеты последней пары. Сравним пару $A, C$ с парой $B, D$.   Если будет получено равновесие, то суммарный вес пар ${A, B}$ и ${C, D}$ составляет чётное количество граммов, и значит, первая пара (вместе с $a$ равновесными ей) тяжёлая, а последняя – лёгкая. То есть мы знаем тип каждой из взвешенных монет. Далее сформируем одну вспомогательную среднюю пару (например, ${A, C}$) и будем последовательно сравнивать с остальными невзвешенными парами (всего делаем $n-1$ взвешивание), по результату определяем тип очередной пары. Так будут определены веса всех исходных пар, кроме одной. Зная, сколько среди всех этих $n$ – 1 пар тяжёлых, а сколько лёгких, определяем тип последней пары, исходя из равенства количеств тяжёлых и лёгких пар среди всех $n$ пар. Зная тип каждой пары, формируем нужные пары: средние не трогаем, а из каждой пары пар (лёгкая, тяжёлая) формируем две средние, беря по монете из каждой пары (назовём этостандартной процедурой).   Если же при сравнении ${A, C}$ с ${B, D}$ равновесия не будет, то будем считать, что $A$ с $C$ весят больше, чем $B$ с $D$ (иначе просто переобозначим монеты: $A \leftrightarrow B, C \leftrightarrow D$). Суммируя то, что ${A, B}$ тяжелее ${C, D}$ и ${A, C}$ тяжелее ${B, D}$, получаем, что $A$ тяжелее $D$, значит, $A$ весит 10 г, а $D$ весит 9 г. Тогда $B$ и $C$ одинаковые, иначе в одном из двух выше рассмотренных взвешиваний было бы равновесие. Кроме того, если они 10-граммовые, то все $a$ пар, с которыми пара ${A, B}$ попала в равновесие – тяжёлые, иначе – они средние. Эти $a$ пар пока не трогаем, назовём их главными; пары ${A, B}$, ${C, D}$ переформируем: сформируем среднюю пару ${A, D}$ и пару ${B, C}$, состоящую из одинаковых монет. Далее последовательно сравним ${A, D}$ с каждой из остальных пар (из изначально сформированных, отличных от уже взвешенных), кроме одной, всего сделав $n-1-(a+2)+(a+2)= n-1$ взвешиваний и определив тип каждой из этих $n-1-(a+2)$ пар. Пусть $Y$ – последняя пара. Тогда мы «уже» знаем тип каждой пары, кроме $Y$, ${B, C}$ и $a$ главных пар. Зная, что суммарно тяжёлых и лёгких пар одинаково, вычисляем $x$ – разность количеств тяжёлых и лёгких пар среди $Y$, ${B, C}$ и $a$ главных пар (она противоположна аналогичной разности количеств среди пар, у которых мы «уже» знаем тип).   Введём $y$: положим $y$ = 1, если $Y$ тяжёлая, 0 – если $Y$ средняя и –1 – если $Y$ лёгкая (мы «пока» не знаем значение $y$). Если $x$ > 0, то мы понимаем, что ${B, C}$ тяжёлая и $a$ главных пар – тяжёлые: иначе бы, согласно выше установленному, ${B, C}$ была бы лёгкой и $a$ главных пар были бы средними, и тогда было бы $x$ = –1 + $y$ ≤ 0, что не так; и тогда имеем $x = 1+a+y$, откуда вычисляем $y$, то есть мы знаем тип каждой пары, и тогда формируем нужные пары стандартной процедурой. Аналогично при $x$ < 0 получаем, что ${B, C}$ лёгкая и $a$ главных пар средние (иначе $x=a+1+y \geqslant 0$), и тогда из $x$ = –1 + $y$ находим $y$, то есть знаем все пары, формируем нужные по стандартной процедуре. Остаётся рассмотреть случай $x$ = 0. При $a$ > 0 в точности аналогичное рассуждение исключает случай $x = a+1+y$, и приводит к нужным парам. Наконец, рассмотрим случай $x=0=a$: тогда главных пар 0 штук, а пара ${B, C}$ не средняя, тогда она «противоположна» паре $Y$, беря по монете из этих пар формируем 2 нужные пары. Из остальных пар (типы которых нам известны) формируем нужные пары по стандартной процедуре.

Решение 3:  Рассмотрим отдельно случай $n$ = 3. Пронумеруем монеты числами от 1 до 6. Первым взвешиванием сравним монеты 1 и 2, вторым – монеты 3 и 4. Если получим два равенства, то в одной из этих пар монеты весят по 9 г, а в другой – по 10 г. Тогда пары {1, 3}, {2, 4}, {5, 6} весят по 19 г. Если в одном взвешивании, например в первом, будет неравенство, а во втором – равенство, то можно разбить монеты на пары {1, 2}, {3, 5}, {4, 6}. Если же оба взвешивания дадут неравенства, то искомые пары – {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}.   Если $n$ ≠ 3, разобьём монеты на пары произвольным образом. Каждая пара весит 18, 19 или 20 г, причём пар веса 18 и 20 г поровну. Если для каждой пары мы определим её вес, то сможем получить требуемое разбиение монет. Действительно, пары веса 19 г можно оставить без изменений, а, объединив по одной монете из пар весом 18 и 20 г, также получим искомые пары.   Сравним первую пару со второй, потом с третьей и так далее, пока не получим неравенство или не закончатся пары. Если неравенство получено, то из всех пар, которые мы сравнили, сформируем первуюкучку. Если остались пары, то будем действовать с ними аналогично и создавать новые кучки. В итоге получим несколько кучек, в каждой из которых пары имеют две различные массы. Возможно, несколько последних пар не образуют кучку, если они равны между собой. В каждой кучке выделим одну лёгкую и одну тяжёлую пары и объединим их вгруппу. Пронумеруем группы в соответствии с номерами кучек, которым они принадлежат.   Начнём сравнивать группы: первую группу сравним со второй, затем с третьей и так далее, пока не получим неравенство или не закончатся группы. Если неравенство получено, например первая группа оказалась легче $k$-й (если наоборот, дальнейшие рассуждения аналогичны), то в первой группе лёгкая пара весит 18 г, а в $k$-й группе тяжёлая пара весит 20 г. Объединим эти две пары в новую группу $X$ веса 38 г. Если $k$ меньше числа групп, то сравним $X$ со всеми группами, номера которых больше $k$ – так мы узнаем веса пар во всех кучках, начиная с ($k$+1)-й. Если какие-то пары не попали в кучки, то сравним одну из них с половиной группы $X$ (в которую входит по одной монете из составляющих её пар). Результат сравнения позволит узнать массы всех пар, не попавших в кучки.   Заметим, что если веса двух групп равны, то в этих группах лёгкие пары весят одинаково и тяжёлые пары тоже. Поэтому все лёгкие пары в кучках с первой по (k–1)-ю весят по 18 г, а все тяжёлые пары в $k$-й кучке – по 20 г. Таким образом, пока мы не узнали только веса тяжёлых пар в первых $k$ – 1 кучках и лёгких пар в $k$-й кучке. Они могут весить либо 19 и 18 г, либо 19 и 19 г, либо 20 и 19 г соответственно. Учитывая, что общее число пар массой 18 и 20 г одинаково, мы однозначно можем определить, какой из случаев имеет место.   Если при сравнении групп мы дошли до последней группы и не получили ни одного неравенства (в частности, если число кучек равно 0 или 1), то во всех кучках лёгкие пары весят одинаково и тяжёлые пары тоже. Тогда мы имеем тринабора, состоящие из равных пар: лёгкие пары в кучках, тяжёлые пары в кучках и пары, не попавшие в кучки (какие-то наборы могут оказаться пустыми). Обозначим число пар в этих наборах через $a, b, c$ соответственно. Можем считать, что все эти числа ненулевые, ибо в противном случае тип каждой пары определяется тривиально. Так как пар веса 18 и 20 г поровну, то в большинстве случаев можно сразу понять, сколько весят пары в каждой группе: либо есть два набора, состоящие из одинакового числа пар, либо два набора содержат в сумме столько же пар, сколько и третий. Нельзя это понять, только когда одновременно выполняется более одного равенства, то есть в следующих четырёх случаях.   1) $a = c, a + c = b$. Тогда лёгкие пары весят по 18 г. Сравним тяжёлую пару $с$ парой не из кучек. Если тяжёлая пара окажется легче, то они весят 19 и 20 г, а если тяжелей – 20 и 18 г соответственно.   2) $b = c, b + c = a$. Этот случай рассматривается аналогично предыдущему.   3) $a = b, c = a + b$. Нетрудно понять, что этот случай реализуется, только если тяжёлые пары весят 20 г, лёгкие – 18 г, а остальные – 19 г.   4) $a = b = c$. Такое возможно, если $n$ делится на 3. Так как $n$ ≠ 3, то в каждом наборе есть хотя бы по две пары. Объединим в группу одну лёгкую пару с одной тяжёлой и сравним её с двумя парами, не попавшими в кучки. Результат такого взвешивания однозначно определит веса всех пар.   Построим граф, в котором вершины соответствуют составленным в самом начале $n$ парам. Рёбрами соединим две вершины, если соответствующие пары участвовали во взвешивании. Если взвешивались группы, то ребром будем соединять по одной паре из групп. Когда одна из пар сравнивалась с половиной группы $X$, соединим ребром эту пару с одной из пар, которая использовалась в формировании группы $X$. Тогда во всех рассмотренных случаях полученный граф не содержит циклов, поэтому число сделанных взвешиваний не превышает $n$ – 1.

Ответ задачи отсутствует