Задача
На столе лежит колода из 36 карт, верхняя из которых червонный туз. За одно «перемешивание» фокусник снимает верхнюю половину колоды и кладёт рядом с нижней, а затем делает так, чтобы карты двух стопок чередовались: сначала нижняя карта левой или правой стопки, потом первая снизу другой стопки, потом вторая снизу карта первой стопки, вторая снизу карта другой стопки, и так далее (см. рисунок).
Какое наименьшее число перемешиваний нужно сделать фокуснику, чтобы червонный туз оказался нижней картой колоды?
При каждом перемешивании то, из какой половины карта окажется снизу, фокусник выбирает сам.
Решение
Если карта из верхней половины колоды была $k$-й сверху, то после одного перемешивания она станет либо $2k$-й, либо $(2k-1)$-й сверху. А если карта из нижней половины колоды была $k$-й снизу, то станет либо $2k$-й, либо $(2k-1)$-й снизу. Таким образом, если карта находилась в верхней половине колоды, то после перемешивания она окажется ниже или (если это была верхняя карта) на том же месте, а если карта находилась в нижней половине, то окажется выше или (если это была нижняя карта) на том же месте. Значит, впервые попасть на нижнее место в колоде червоный туз может только из верхней половины колоды (а именно, если перед перемешиванием он был 18-й сверху картой). После каждого перемешивания номер червонного туза, считая сверху, мог увеличиться максимум вдвое, значит, после 4 перемешиваний червонный туз окажется не более чем 16-й сверху картой, и после следующего перемешивания в любом случае не станет самой нижней картой.
А вот 6 перемешиваний хватит: пусть фокусник сделает так, чтобы после первого перемешивания снизу оказалась карта из верхней половины колоды (червоный туз станет 2-й сверху картой), после второго, третьего и четвёртого перемешиваний – из нижней (червоный туз станет 3-м сверху, затем 5-м, затем 9-м), после пятого и после шестого перемешивания – снова из верхней половины (туз станет 18-м сверху и, наконец, 36-м сверху).
Ответ
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь