Задача
Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $${x} > {x^2} > {x^3} > \ldots > {x^{100}}?$$ (Здесь ${x}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)
Решение
Решение 1:Возьмём $x = 10^{100} + 0,1$. Тогда $$x^n = 10^{100n} + С_n^1 10^{100(n-1)}(0,1)+\ldots + C_n^{n-1}10^{100}(0,1)^{n-1} + (0,1)^{n},$$ откуда ${x_n} = (0,1)^{n}$ при $n \leqslant 100$.
Решение 2:Возьмём $x = 2 - \varepsilon$, где $0 < \varepsilon < 2^{-200}$. Тогда $$x^n = 2^n - 2^{n-1}n\varepsilon + R\varepsilon^2,$$ где $$|R| < 2^{n-2}(C^2_n+C^3_n+\ldots +C^n_n)< 2^{200}$$ при $n \leqslant 100$, откуда $$(2^{n-1}n - 1)\varepsilon < 1 - {x^n} < (2^{n-1}n + 1)\varepsilon < 1.$$ Следовательно, $0 < 1 - {x} < 1 - {x^2} < \ldots < 1 - {x^{100}}$, что и требовалось.
Ответ
Существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь