Решение. На рисунке изображен выпуклый12-угольник, который разрезан диагоналями на5частей:8-угольник и четыре треугольника. Каждая прямая пересекает не более двух из этих треугольников. Действительно, прямая пересекающая треугольник, должна пересечь по крайней мере одну из его сторон, общую с12-угольником; с другой стороны, прямая может пересечь не более двух (не соседних) сторон выпуклого многоугольника. Точно так же, если A₁ A₂ ...A3n – выпуклый3n -угольник, то любая прямая пересекает не более двух из треугольников A₁ A₂ A₃ , A₄ A₅ A₆ , A₇ A₈ A₉ , ... , A3n-2 A3n-1 A3n .

Теперь покажем, как можно разбить требуемым образом треугольник (рис.7). Проведем прямые, отсекающие три треугольника первого ранга, так, чтобы остался правильный6-угольник. От каждой его вершины отрежем по треугольнику второго ранга, так, чтобы остался правильный12-угольник. От каждой его вершины отрежем треугольник третьего ранга, чтобы остался правильный24-угольник, и так19раз. После отрезания от вершин3 · 2^k-1-угольника3 · 2^k-1треугольников k -го ранга остается правильный3 · 2^k -угольник ( k=1, 2, ... 19).

Любая прямая пересекает не более двух треугольников каждого ранга и еще, быть может, оставшийся3 · 219-угольник, т.е. всего не более1+2 · 19=39многоугольников. Общее число всех многоугольников, на которые разбит треугольник, равно

<style type="text/css"> div.p { margin-top: 7pt;}</style><style type="text/css"></style>

можно .