Задачи и олимпиады по математике

Задача

а) Пусть 0 < k < 1. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC отметим точки E, А и G таким образом, что AE : EB = BF : FC = CG : GA = k. Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми АF, BG и CE, к площади треугольника АВС (см. рис.). б) Разрежьте треугольник шестью прямыми на такие части, из которых можно сложить семь равных треугольников.

Решение

а) Обозначим площадь треугольника с вершинами X, Y, Z через s(XYZ). Пользуясь тем, что отношение треугольников с одинаковыми высотами (или с одинаковыми основаниями) равно отношению оснований (соответственно отношению высот), нетрудно доказать, что

Точно так же можно доказать, что

s(ALB)=s(CMB)= s(ABC).>

Поэтому

= 1 - = = .

б) Заметим, что при k = это отношение равно и каждый из трех отрезков AF , BG , CE разбит двумя другими в отношении3 : 3 : 1, так что если провести через точки M, K, L еще три прямые, соответственно параллельные этим отрезкам, то каждая из сторон треугольника ABC будет разбита в отношении2 : 1 : 1 : 2. Теперь уже нетрудно из13кусков, на которые разрезан треугольник ABC, собрать7равных треугольников (один из них состоит из единственного куска KLM ; рис. ниже).

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления