Задача
Найти действительные корни уравнения:
x2 + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$0 < a < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$$\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$.
Решение
Пусть f$\bf (x)$— левая часть данного уравнения. График функцииy= f$\bf (x)$представляет собой параболу. Если 0 <a< 1/4, то f$\bf (x)>0$. Поэтому исходное уравнение эквивалентно уравнению
x2 + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a±$\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$.
Правая часть уравнения (1) представляет собой обратную
функцию f$\bf ^{-1}(x)$. В самом деле, еслиy2+ 2ay+${\frac{1}{16}}$=x, тоy= -a±$\sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$.
Чтобы найти действительные корни данного уравнения, нужно
найти точки пересечения графиковy= f$\bf (x)$иy= f$\bf ^{-1}(x)$. Графики взаимно
обратных функций симметричны относительно прямойy=x, поэтому действительные
корни данного уравнения являются в точности действительными корнями уравнения
x2 + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = x.
Решив это уравнение, находим
x1, 2 = $\displaystyle {\frac{1-2a}{2}}$±$\displaystyle \sqrt{\left(\frac{1-2a}{2}\right)^2-\frac{1}{16}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет