Задачи и олимпиады по математике

Задача

Даноnокружностей:O₁,O₂,...O_n, проходящих через одну точкуO. Вторые точки пересеченияO₁сO₂,O₂сO₃,...,O₃сO₁обозначим соответственно черезA₁,A₂,...,A_n. НаO₁берем произвольную точкуB₁. ЕслиB₁не совпадает сA₁, то проводим черезB₁иA₁прямую до второго пересечения сO₂в точкеB₂. ЕслиB₂не совпадает сA₂, то проводим черезB₂иA₂прямую до второго пересечения сO₃в точкеB₃. Продолжая таким образом, мы получим точкуB_nна окружностиO_n. ЕслиO_nне совпадает сA_n, то проводим черезB_nиA_nпрямую до второго пересечения сO₁в точкеB_{n + 1}. Докажите, чтоB_{n + 1}совпадает сB₁.

Решение

Пусть$\angle$(AB,CD) — ориентированный угол между прямымиABиCD(он измеряется с точностью до180^o). Тогда$\angle$(B_nA_n,A_nO) =$\angle$(B_nA_{n - 1},A_{n - 1}O) =$\angle$B_{n - 1}A_{n - 1},A_{n - 1}O). Аналогично получаем$\angle$(B_{n - 1}A_{n - 1},A_{n - 1}O) =$\angle$(B_{n - 2}A_{n - 2},A_{n - 2}O) = ... =$\angle$(B₁A₁,A₁O). Наконец,$\angle$(B₁A₁,A₁O) =$\angle$(B₁A_n,A_nO). В итоге получаем$\angle$(B_nA_n,A_nO) =$\angle$(B₁A_n,A_nO). Это означает,что точкиA_n,B₁иB_nлежат на одной прямой. Следовательно,B_{n + 1}=B_n.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления