Задача
Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
a1 – 3a2 + 2a3 ≥ 0,
a2 – 3a3 + 2a4 ≥ 0,
a3 – 3a4 + 2a5 ≥ 0,
...,
a99 – 3a100 + 2a1 ≥ 0,
a100 – 3a1 + 2a2 ≥ 0.
Доказать, что все числа ai равны между собой.
Решение
Сложим все неравенства. Коэффициент при ak окажется равным 1 – 3 + 2 = 0. Таким образом, у нас есть набор неотрицательных чисел a1 – 3a2 + 2a3, ..., сумма которых равна 0. Значит, каждое из чисел равно 0, то есть у нас есть система не неравенств, а уравнений. Эти уравнения удобно переписать в виде
a1 – a2 = 2(a2 – a3), a2 – a3 = 2(a3 – a4), ..., a100 – a1 = 2(a1 – a2). Теперь последовательно получаем a1 – a2 = 2(a2 – a3) = 4(a3 – a4 ) = ... = 2100(a1 – a2). Это возможно лишь при a1 = a2. Но тогда a2 = a3, a3 = a4, ..., a100 = a1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь