Задача
Найти геометрическое место четвёртых вершин прямоугольников, три вершины которых лежат на двух данных концентрических окружностях, а стороны параллельны двум данным прямым.
Решение
Ответ:три концентрические окружности (с тем же центром) с радиусамиr,Rи$\sqrt{2R^2-r^2}$, гдеR>r— радиусы исходных окружностей.
Пусть вершиныA,BиDпрямоугольникаABCDлежат на двух концентрических окружностях. Противоположные вершиныBиDне могут лежать на меньшей окружности. Действительно, если вершинаAлежит на большей окружности, а вершиныBиD— на меньшей, то$\angle$BAD= 90oи поэтомуBиD— концы диаметра большей окружности, чего не может быть. Поэтому возможны следующие два варианта.
-
Две соседние вершины вершины лежат на одной окружности, а третья вершина — на второй. Тогда четвёртая вершины тоже лежит на второй окружности. В результате получаем исходные окружности.
-
Противоположные вершиныBиDлежат на большей окружности, а вершинаA-- на меньшей. ПустьO— общий центр окружностей. ТогдаOA=r,OB=OD=R. ПоэтомуOC=$\sqrt{OB^2+OD^2-OA^2}$=$\sqrt{2R^2-r^2}$; равенствоOB2-OA2=OC2-OD2легко проверяется с помощью теоремы Пифагора.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь