Рассмотрим последовательность, заданную первым членом x₁ и рекуррентной формулой  x_k+1 = f(x_k),  где  f(x) = 1 – x².  Нам нужно узнать, при каких x₁ последовательность будет периодической. Заметим, что функция  f имеет две неподвижные точки (два решения уравнения  f(x) = x):     Поэтому при  x₁ = a  и  x₁ = b  последовательность будет постоянной. Кроме того,   f имеет две точки периода 2:

f(0) = 1,   f(1) = 0.  Поэтому при  x₁ = 0  и  x₁ = 1  последовательность имеет период 2. Докажем, что при других значениях x₁ последовательность периодической не будет.

  Заметим, что   а)   f(x) ≤ 1  при всех x;   б)   f(x) > 0  при  –1 < x < 1;   в)   f(x) < x  при  x < a  и  x > b;   г)   f(x) > x  при  a < x < b;   д)   f(x) > b  при

0 < x < b,   f(x) < b  при  b < x < 1.  Разберём несколько случаев.

  1)  x₁ > 1.  В силу а) ни один из следующих членов последовательности не равен x₁.

  2)  x₁ < a.  В силу в)  x₂ < x₁ < a,  x₃ < x₂ < a, ...,  то есть последовательность убывает. Следовательно, она непериодическая.

  3)  a < x₁ < 0.  Пока члены последовательности находятся в этом интервале, в силу г) выполнено неравенство  x_k+1 > x_k,  то есть последовательность возрастает. Если последовательность никогда не покинет этот интервал (на самом деле это невозможно, но мы не будем тратить время на доказательство), то она непериодическая. Если же какой-то член  x_k ≥ 0,  то силу а) и б) все последующие члены находятся на отрезке  [0, 1],  и ни один из них не равен x₁.

  4)  0 < x₁ < b.  Тогда в силу д), а) и б) все нечётные члены находятся в интервале  (0, b),  а все чётные – в интервале  (b, 1).  Докажем, что последовательность нечётных членов убывает. Для этого достаточно проверить, что  f(f(x)) = 1 – (1 – x²)² < x  при  0 < x < b.

  Действительно,  x – 1 + (1 – x²)² = x(x – 1)(x² + x – 1) > 0  (первый множитель на указанном интервале положителен, а два других отрицательны). Таким образом, последовательность непериодична.

  5)  b < x₁ < 1.  Тогда все чётные члены находятся в интервале  (0, b),  и, как показано выше последовательность чётных членов убывает. Таким образом, и в этом случае последовательность непериодична.

При чётном n добавляются еще два решения:  (0, 1, 0, 1, ..., 0, 1)  и  (1, 0, 1, 0, ..., 1, 0).