Аналогично решениюзадачи 5 для 8 классаустанавливается, что искомый многоугольник М заключается внутри пересеченияQ= Р$\cap$р; при этом, поскольку М проектируется в четырёх направлениях отрезками заданной в условии длины, то он имеет точки на всех восьми сторонах восьмиугольникаQ$\equiv$RTUVWXYZ. Обозначим эти восемь точек последовательно черезr,t,u,v,w,x,yиz(рис. ???; не исключено, что некоторые из названных точек совпадут с вершинамиQили между собой); так как многоугольник М выпуклый, то он обязательно будет содержать внутри выпуклый восьмиугольникq=rtuvwxyz(который также может фактически иметь меньше восьми сторон!), возможно, совпадая с ним. Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы установить, когда будетнаименьшейплощадьq.

Заметим прежде всего, что если вершиныtиzвосьмиугольникаqзакреплены, то, стремясь уменьшить площадь$\Delta$zrt, мы всегда можем сдвинутьrв одну из вершинRили Т восьмиугольникаQ. В самом деле, еслиzне совпадает сRиtне совпадает сT, то в случае, когдаzt$\nparallel$RT, площадь$\Delta$zrtбудет меньше всего при совпаденииrс тем из концов отрезкаRT, который ближе к прямойzt; если жеzt||RT, то площадь$\Delta$zrtвовсе не зависит от положения точкиrнаRT, и мы снова можем считать эту точку совпадающей сRили сT. Аналогично, еслиzсовпадает сRилиtсовпадает сT, то (равный нулю) минимум площади$\Delta$zrtдостигается, когдаrсовпадает с той же точкой; если же иrсовпадает сRиtсT, то нам безразлично, где расположить (фиктивную!) вершину''<i>r</i>восьмиугольника<i>q</i>, и мы можем свободно считать её совпадающей с R или с Т. Разумеется, это рассуждение сохраняет силу и в применении к любой другой вершине восьмиугольника<i>q</i>, так что можно смело считать, что<i>все вершины <i>q</i> совпадают с какими-то вершинами <i>Q</i>.</i>Но этим наши заключения о виде восьмиугольника<i>q</i>наименьшей возможной площади не ограничиваются. Предположим, например, что<i>вершина</i><i>r</i>этого многоугольника<i>совпадает с вершиной</i><i>R</i>многоугольника<i>Q</i>(рис. ???). Ясно при этом, что если<i>y</i>совпадает с<i>Y</i>, то площадь$\Delta$<i>yzr</i>будет меньше всего (а именно будет равен нулю), если также и<i>вершина</i><i>z</i>восьмиугольника<i>q</i><i>совпадёт</i>с той же точкой<i>R</i>; если же у$\equiv$<i>Z</i>, то мы также можем считать, что (фиктивная) вершина<i>z</i>совпадает с<i>R</i>. Далее ясно, что если<i>y</i>совпадает с<i>Y</i>, то по тем же соображениям и<i>x</i>совпадёт с<i>Y</i>; точно так же, если х совпадает с<i>Y</i>, то и у совпадёт с<i>Y</i>; поэтому либо обе точки х и<i>y</i>совпадают с<i>Y</i>(рис. ???), либо у совпадает с<i>Z</i>, а х — с<i>X</i>, причём в последнем случае точка<i>w</i>тоже должна совпасть с<i>X</i>(рис. ???). Точно так же устанавливается, что либо точки<i>t</i>и<i>u</i>обе совпадают с<i>U</i>, либо<i>t</i>совпадает с<i>T</i>и тогда точки<i>u</i>и<i>v</i>обе должны совпасть с<i>V</i>. Таким образом, если точки<i>r</i>и<i>z</i>совпадают с<i>R</i>, точки х и у — с<i>Y</i>, а точки<i>t</i>и<i>u</i>— с<i>U</i>, то либо две оставшиеся вершины<i>v</i>и<i>w</i>восьмиугольника<i>q</i>обе совпадают с<i>W</i>(рис. ???), либо<i>v</i>совпадает с<i>V</i>, a<i>w</i>- с<i>X</i>(рис. ???). Если точки<i>r</i>и<i>z</i>совпадают с<i>R</i>, точки х и у — с<i>Y</i>, точка<i>t</i>— с<i>T</i>и точки<i>u</i>и<i>v</i>— с<i>V</i>, то в случае, когда точка<i>w</i>совпадает с<i>W</i>, мы приходим к пятиугольнику<i>RTVWY</i>во всем подобному пятиугольнику рис. ???; если же точка<i>w</i>совпадает с<i>X</i>, то восьмиугольник''qобращается в пятиугольникRTVXYтого же типа, что и два предшествующие. Наконец, случай, когда точкиrиzсовпадают сR, точкаy- сZ, точки х иw— сX, точкаt— с Т, а точкиuиv— сV(рис. ???), является невозможным, ибо при этом мы можем еще уменьшить площадь (вырожденного) `` восьмиугольника''q$\equiv$RTVXZ, совместивzсZиr— сT. Поэтому интересующий насвосьмиугольник q обязательно будет вырожденным, а именно, онбудет представлять собой четырёхугольник типа RUWY (рис. ???) или TVXZ, либо пятиугольник типа RUVXY (рис. ???).

Рассмотрим эти два случая последовательно. Более простым из них является тот случай, когда `` восьмиугольник''qнаименьшей площади обращается в четырёхугольникRUWYилиTVXZ. Дело в том, чтоплощади четырёхугольников RUWY и TVXZ вовсе не зависят от взаимного расположения прямоугольников p и P.В самом деле, пустьAB= а(= 5) иAD=b(= 4) — стороны прямоугольникаP; отрезки сторон этого прямоугольника, отсекаемые сторонами прямоугольникаp, обозначим через$\alpha$,$\beta$,$\gamma$и$\delta$, как это указано на рис. ???. В таком случае

Ноиоткуда и следует, чтонезависимо от расположения прямоугольниковpиP. Точно так же устанавливается, что
т.е.Перейдём теперь к тому случаю, когда `` восьмиугольник''qфактически является пятиугольником (ср. рис. ???). Одна сторона этого пятиугольника целиком принадлежит стороне р и одна — стороне Р; рассматривая отдельно случаи, когда сторонаqпринадлежит большей и меньшей стороне р и когда сторонаqпринадлежит большей и меньшей стороне Р, мы получим следующие четыре типа рассматриваемых пятиугольников.

1. Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника P (например, стороне AB), другая — большей стороне p (скажем, стороне cd; рис. ??? а). В этом случае, очевидно, имеем

   Sq	= SABCD - SATV - SBWY - SCYZ - SDZT	(41)
   	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(b - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ + (a - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$]	(42)
   	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)b + $\displaystyle \delta$a - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ - $\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$],	(43)

   
   или, поскольку a = 5, b = 4, $\alpha$ + $\gamma$ = 3 (т.е. $\alpha$ = 3 - $\gamma$) и $\beta$ + $\delta$ = 1 (т.е. $\beta$ = 1 - $\delta$),

   Sq	= 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(4 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$) . 4 + $\displaystyle \delta$ . 5 - 3$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ - (1 - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$]	(44)
   	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[16 - 5$\displaystyle \gamma$ - 2$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma^{2}_{}$ + $\displaystyle \delta$$\displaystyle \gamma$]	(45)
   	= 20 - 8 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[2$\displaystyle \delta$ + (5 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$] $\displaystyle \geq$ 12,	(46)

   
   ибо $\delta$ $\geq$ 0, $\gamma$ $\geq$ 0 и $\gamma$ + $\delta$ < 5 (так как $\gamma$ $\leq$ 3 и $\delta$ $\leq$ 1).
2. Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника P (например, стороне AB), другая — меньшей стороне p (стороне ad; рис. ???). В этом случае имеем

   Sq	= SRTVWY = SABCD - SATV - SBWY - SCYZ - SDRT	(47)
   	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(b - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$ + (b - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$]	(48)
   	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta$)b + $\displaystyle \gamma$a - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$ - $\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$]	(49)
   	= 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(4 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$) . 4 + $\displaystyle \gamma$ . 5 - 3$\displaystyle \delta$ - (1 - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$]	(50)
   	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[16 - 7$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \gamma$$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \delta^{2}_{}$] = 20 - 8 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(7 - $\displaystyle \gamma$ - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \delta$ $\displaystyle \geq$ 12,	(51)

   
   так как $\delta$ $\geq$ 0 и, очевидно, $\gamma$ + $\delta$ < 7.
3. Одна сторона пятиугольника q принадлежит большей стороне прямоугольника p (скажем, стороне ab), а другая — меньшей стороне прямоугольника P (стороне BC; см. рис. ???). Тогда

   Sq	= SRUVXY = SABCD - SAUV - SBVX - SCYR - SDRU	(52)
   	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[$\displaystyle \alpha^{2}_{}$ + (a - $\displaystyle \alpha$)$\displaystyle \beta$ + (a - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + (b - $\displaystyle \alpha$)$\displaystyle \delta$]	(53)
   	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \gamma$)a + $\displaystyle \delta$b - ($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$ - $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$]	(54)
   	= 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(4 - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \delta$) . 5 + $\displaystyle \delta$ . 4 - 3$\displaystyle \delta$ - (1 - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$]	(55)
   	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[20 - 6$\displaystyle \alpha$ - 4$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$]	(56)
   	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[20 - 6$\displaystyle \alpha$ - 4$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \delta$ + $\displaystyle \alpha^{2}_{}$]	(57)
   	= 20 - 10 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[4$\displaystyle \delta$ + (6 - $\displaystyle \alpha$ - $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \alpha$] $\displaystyle \geq$ 10,	(58)

   
   поскольку $\delta$ $\geq$ 0, $\alpha$ $\geq$ 0 и, разумеется, $\alpha$ + $\delta$ < 6.
4. Одна сторона пятиугольника q принадлежит меньшей стороне прямоугольника P (скажем, стороне AD), другая — меньшей стороне прямоугольника p (стороне bc; см. рис. ???). В этом случае получаем

   Sq	= STUWXZ = SABCD - SAUW - SBWX - SCXZ - SDZT	(59)
   	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(a - $\displaystyle \beta$)$\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ + (b - $\displaystyle \beta$)$\displaystyle \gamma$ + (a - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \delta$]	(60)
   	= ab - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[($\displaystyle \alpha$ + $\displaystyle \delta$)a + $\displaystyle \gamma$b - ($\displaystyle \beta$ + $\displaystyle \delta$)$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ - $\displaystyle \alpha$$\displaystyle \beta$]	(61)
   	= 5 . 4 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[(4 - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$) . 5 + $\displaystyle \gamma$ . 4 - $\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ - (3 - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$]	(62)
   	= 20 - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[20 - 8$\displaystyle \beta$ - 2$\displaystyle \gamma$ + $\displaystyle \beta^{2}_{}$ + $\displaystyle \beta$$\displaystyle \gamma$]	(63)
   	= 20 - 10 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$[2$\displaystyle \gamma$ + (8 - $\displaystyle \beta$ - $\displaystyle \gamma$)$\displaystyle \beta$] $\displaystyle \geq$ 10,	(64)

   
   ибо $\beta$ $\geq$ 0, $\gamma$ $\geq$ 0 и, разумеется, $\beta$ + $\gamma$ < 8.

Таким образом, во всех случаяхS_q$\geq$10; равенствоS_q= 10 имеет место, например, если в условиях рис. ???$\alpha$=$\delta$= 0 (рис ???). В этом случае восьмиугольникQвырождается в пятиугольник, аqвырождается в треугольник (почему?).

Ответ задачи отсутствует