Комбинации произведений 1959 положительных чисел — олимпиадная задача
Задача
Имеется 1959 положительных чиселa1,a2...,a1959, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.
Решение
1 = (a1 + ... + a1959)1000. Раскрыв скобки, получим сумму всех возможных произведений ai "длины" 1000. Каждое рассматриваемое в задаче произведение входит в эту сумму, но произведения, отличающиеся порядком сомножителей, входят в эту сумму несколько раз. Кроме того, в сумму входят и другие слагаемые, например, 
Все слагаемые положительны, значит, искомая сумма меньше 1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь