Заметим, что если$\triangle$A_nB_nC_nостроугольный, то треугольник$\triangle$A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1}пересекает его в шести точках. Поскольку$\angle$B_{n + 1}A_nC_n= 45^o=$\angle$C_{n + 1}A_nB_n, а$\angle$B_nA_nC_nострый, получаем, что лучиA_nB_nиA_nC_nлежат внутри углаB_{n + 1}A_nC_{n + 1}. Аналогично и для вершинB_nиC_n, а значит, шестиугольникA_nC_{n + 1}B_nA_{n + 1}C_nB_{n + 1}выпуклый и треугольник$\triangle$A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1}пересекает треугольник$\triangle$A_nB_nC_nв шести точках.

Теперь докажем индукцией поn, что треугольник$\triangle$A_nB_nC_nостроугольный. Предположим, что приn=kтреугольник остроугольный, тогда докажем, что приn=k+ 1 треугольник также будет остроугольный. Уже доказано, что шестиугольникA_kC_{k + 1}B_kA_{k + 1}C_kB_{k + 1}выпуклый, а значит, угол$\angle$C_{n + 1}A_{n + 1}B_{n + 1}меньше угла$\angle$B_nA_{n + 1}C_n, но$\angle$B_nA_{n + 1}C_n= 90^o, а значит, угол$\angle$C_{n + 1}A_{n + 1}B_{n + 1} — острый. Аналогично докажем, что и другие углы треугольника$\triangle$C_{n + 1}A_{n + 1}B_{n + 1}острые, а значит, и сам треугольник остроугольный, что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует