Задача
Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в300oкаждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов. Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.
Решение
Предположим, что требуемое расположение возможно. Проведем большие окружности сферы, содержащие данные дуги. ПустьA,B,C,A',B',C' – их попарные точки пересечения (если некоторые из них совпадают, решение аналогично), причем пары точекAиA',BиB',CиC' являются диаметрально противоположными. Поскольку каждая из дуг имеет величину более 180°, то она проходит хотя бы через одну точку из каждой пары, а значит хотя бы через две точки из указанных шести. Поэтому, если наши дуги не пересекаются, то каждая из них проходит ровно через две не противоположные точки из данных шести. Без ограничения общности можно считать, что они проходят черезAиB',BиC',CиA' соответственно. Будем обозначать черезXYдугу большой окружности между точкамиX иY, меньшую 180°. Поскольку первая из наших дуг проходит только черезAиB', то она не пересекается сA'B. Значит,A'B<360°-300°=60°. ПоэтомуAB=180°-A'B>120°. Аналогично,BC>120° иCA>120°. Тогда сумма плоских углов трехгранного углаOABC(O– центр сферы) больше 360°, чего не может быть. Итак, расположить дуги требуемым образом нельзя.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь