Задача
Доказать, что любое чётное число 2n$\ge$0 может быть единственным образом представлено в виде2n= (x+y)2+ 3x+y, гдеxиy— целые неотрицательные числа.
Решение
Занумеруем точки с целыми неотрицательными координатами (x,y) в следующем порядке: (0, 1), (1, 0), (0, 2), (1, 1), (2, 0), (0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 0), (0, 4) и т.д. Докажем, что точка с координатами (x,y) имеет номерn=${\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}}$. Для первой точки это очевидно.
Предположим, что требуемое утверждение доказано для точки с номеромn. Пустьn-я точка имеет координаты (x,y). Рассмотрим два случая.
- Пустьy$\ne$0. Тогда (n+ 1)-я точка имеет координаты(x',y') = (x+ 1,y- 1).
Ясно, что2. Пустьy= 0. Тогда (n+ 1)-я точка имеет координаты(x',y') = (0,x+ 1). Ясно, что
= $\displaystyle {\frac{(x+y)^2+3x+3+y-1}{2}}$ = n + 1.
= $\displaystyle {\frac{(x+1)^2+x+1}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{x^2+3x}{2}}$ + 1 = n + 1.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет