Задача
Вдоль коридора положено несколько кусков ковровой дорожки. Куски покрывают весь коридор из конца в конец без пропусков и даже налегают друг на друга, так что над некоторыми местами пола они лежат в несколько слоев. Доказать, что можно убрать несколько кусков, возможно, достав их из-под других и оставив остальные в точности на тех же местах, где они лежали прежде, так что коридор по-прежнему будет полностью покрыт, и общая длина оставленных кусков будет меньше удвоенной длины коридора.
Решение
Выберем среди всех кусков ковровой дорожки, покрывающих левый конец коридора, тот, у которого правый конец самый правый, и обозначим этот кусокI1. После того как выбран кусокIk, выбираем среди всех кусков, покрывающих его правый конец, тот, у которого правый конец самый правый. Таким образом выберем несколько кусков, полностью покрывающих коридор. Остается доказать, что сумма их длин не превосходит 2. КусокIk + 2не имеет общих точек сIk, так как иначе вместоIk + 1мы должны были бы выбратьIk + 2. Поэтому каждая точка коридора длиной 1 покрыта не более чем двумя кускамиIk, т. е. сумма длин этих кусков не превосходит 2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь