Предположим сначала, что центр Oокружности лежит внутри данного пятиугольника A₁A₂A₃A₄A₅. Рассмотрим углы  A₁OA₂,A₂OA₃,...,A₅OA₁. В сумме эти пять углов дают 2$\pi$, поэтому один из них, например A₁OA₂, не превосходит 2$\pi$/5. Тогда отрезок A₁A₂можно поместить в сектор OBC, где $\angle$BOC= 2$\pi$/5 и точки Bи Cрасположены на окружности.

Докажем, что любой отрезокMN, расположенный в треугольникеABC, не больше наибольшей стороны. Пусть прямая MNпересекает стороны треугольника в точках M₁и N₁. Ясно, что MN$\le$M₁N₁. Пусть точка M₁лежит на стороне AB, а точка N₁— на BC. Так как $\angle$AM₁N₁+$\angle$BM₁N₁= 180^o, то один из этих углов не меньше 90^o. Пусть для определённости $\angle$AM₁N₁$\ge$90^o. Тогда AN₁$\ge$M₁N₁, так как против большего угла лежит большая сторона. Аналогично доказывается, что либо AN₁$\le$AB, либо AN₁$\le$AC. Следовательно, длина отрезка MNне превосходит длины отрезка с концами в вершинах треугольника.

В треугольнике OBCнаибольшей стороной является BC, поэтому A₁A₂$\le$BC.

Если точка Oне принадлежит данному пятиугольнику, то углы A₁OA₂,...,A₅OA₁дают в объединении угол меньше $\pi$, причём каждая точка этого угла покрыта ими дважды. Поэтому в сумме эти пять углов дают меньше 2$\pi$, т. е. один из них меньше 2$\pi$/5. Дальнейшее доказательство аналогично предыдущему случаю.

Если точка Oлежит на стороне пятиугольника, то один из рассматриваемых углов не больше $\pi$/4, а если она является его вершиной, то один из них не больше $\pi$/3. Ясно, что $\pi$/4 <$\pi$/3 < 2$\pi$/5.

Ответ задачи отсутствует