Подходит, например, любая трапеция площади 1 с основаниями BC= 1 и AD=$\sqrt[3]{2}$. Действительно, высота такой трапеции равна ${\frac{2}{1+\sqrt[3]{2}}}$. Допустим, что для некоторой точки Oплощади треугольников AODи BOCрациональны. Тогда высоты этих треугольников, опущенные из точки O, равны $\alpha$и ${\frac{\beta}{\sqrt[3]{2}}}$, где $\alpha$и $\beta$ — рациональные числа. Следовательно,$\alpha$+${\frac{\beta}{\sqrt[3]2}}$=${\frac{2}{1+\sqrt[3]{2}}}$. Но тогда число $\sqrt[3]{2}$является корнем квадратного уравнения $\alpha$x²+ ($\beta$+$\alpha$- 2)x+$\beta$= 0.

Докажем, что число $\sqrt[3]{2}$не является корнем никакого квадратного уравнения ax²+bx+c= 0 с рациональными коэффициентами, не все коэффициенты которого равны нулю. Если a= 0, то $\sqrt[3]{2}$= -c/b$\in$$\mathbb {Q}$, что неверно. Если жеa$\ne$0, то в этом случае $\sqrt[3]{2}$=${\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}}$,D$\ge$0. Возводя обе части равенства в куб и приравнивая коэффициенты при $\sqrt{D}$, получаем, что 3b²+D= 0. Так как D$\ge$0, то b=D= 0, а значит,b=c= 0, что также неверно. Таким образом, число $\sqrt[3]{2}$не является корнем квадратного уравнения с рациональными коэффициентами, из которых не все равны нулю. Следовательно, для приведённой трапеции площадь хотя бы одного из треугольников AODи BOCвсегда иррациональна. Замечание.На самом деле подходит любой четырёхугольник из некоторого остаточного множества (то есть из пересечения счётного числа открытых всюду плотных множеств). Действительно, существование точки Oвнутри четырёхугольника ABCD, для которой площади треугольников AOB,BOC,CODи AODравны числам $\alpha$,$\beta$,$\gamma$и $\delta$соответственно,— это некоторое уравнение на углы четырёхугольника. Так как это уравнение выполнено не для всех четырёхугольников, то четырёхугольники, для которых такой точки не существует, образуют открытое всюду плотное подмножество в множестве всех четырёхугольников. Осталось заметить, что множество рациональных чисел счётно, а значит, и множество четвёрок натуральных чисел также счётно.

Ответ задачи отсутствует