Задача
Разобьём все натуральные числа на группы так, чтобы в первой группе было одно число, во второй — два, в третьей — три и т.д. Можно ли это сделать таким образом, чтобы из суммы чисел в каждой группе нацело извлекался корень седьмой степени?
Решение
Будем строить эти группы поочерёдно. В первую группу отнесём только число 1. Во вторую группу отнесём числа 2 и 27- 2, в третью — 3, 4 и 27- 7. Пусть первые k- 1 групп уже построены. Отнесём сначала в k-ю группу первые k- 1 невыбранных чисел. Обозначим их сумму через S. Пусть bk — минимальное натуральное число, такое что число bk7-S> 0 и ещё не выбрано. Отнесём число bk7-Sтакже в k-ю группу.
По построению, из суммы чисел в каждой группе нацело извлекается корень седьмой степени и построенные группы не пересекаются. Кроме того, так как после k-го шага первые 1 + 2 + ... + (k- 1) чисел уже отнесены к какой-нибудь группе, каждое число содержится в какой-то группе. Таким образом, мы построили требуемое разбиение.
Ответ
Можно.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь