Рассмотрим трёхгранный угол PABC с вершиной P . Обозначим его плоские углы BPC , APC и APB через α1, α2, α3соответственно. Через точки A , B и C , лежащие на рёбрах трёхгранного угла, проведём плоскость. Получим еще три трёхгранных угла: ABPC – с вершиной A , BAPC – с вершиной B , CABP – с вершиной C . Обозначим углы при вершинах A и B треугольника APB через β1и γ1, углы при вершинах B и C треугольника BPC – через β2и γ2, углы при вершинах C и A треугольника CAP – через β 3и γ 3. Тогда

β1 + γ3 > BAC, β2 + γ1 > ABC, β3 + γ2 > ACB.

Сложив почленно эти неравенства, получим, что

β1 + γ1 + β2 + γ2 + β3 + γ3 > BAC + ABC + ACB = 180^o,

поэтому

BPC + APC + APB = α1 + α2 + α3 =

= 180^o - (β1 + γ1) + 180^o - (β2 + γ2) + 180^o - (β3 + γ3) =

= 540^o - (β1 + γ1 + β2 + γ2 + β3 + γ3) < 540^o - 180^o = 360^o.

Что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует