Олимпиадная задача по стереометрии: пирамиды BCDE и ABCD, вписанный ша

Пусть F – ортогональная проекция точки E на плоскость ABC ; Q – основание перпендикуляра, опущенного из центра O данного шара на прямую DE ; M – середина AD ; N , K , L и G – точки пересечения плоскости P с отрезками BD , BE , CE и CD соответственно; H – точка касания шара с плоскостью CDE .

Поскольку плоскость P и прямая DE параллельны плоскости ABC , а M – середина AD , точки N , K , L и G – середины отрезков BD , BE , CE и CD соответственно, а четырёхугольник NKLG – параллелограмм, в котором противоположные стороны NK и GL параллельны отрезку DE , а стороны KL и NG – отрезку BC . Тогда треугольник MNG подобен треугольнику ABC с коэффициентом . Значит,

S_{Δ MNG} = S_{Δ ABC} = S.

Пусть r – радиус шара, V – объём пирамиды BCDE , ϕ – угол между прямыми DE и BC , S1– площадь параллелограмма NKLG . Так как площадь полной поверхности этой пирамиды равна, то V = r . С другой стороны, так как длина отрезка EF равна расстоянию между скрещивающимися рёбрами DE и BC пирамиды BCDE , то

V = DE· BC· EF sin ϕ = · 2NK· 2KL sin ϕ · EF =

= NK· KL sin ϕ · EF = S1· EF,

S1 = = · = .

Пусть BH – высота треугольника DBE . Тогда по теореме о трёх перпендикулярах B'H DE . Поэтому угол B'HB – линейный угол двугранного угла при ребре DE пирамиды BCDE . Обозначим B'HB = γ . Тогда

cos γ = = = tg B'DE: tg BDE = l,

sin = = .

Поскольку данный шар вписан в рассматриваемый двугранный угол, его центр O лежит в биссекторной плоскости этого угла, поэтому r = OQ sin . Значит,

S1 = = · = · =

= · sin · k = k = k.

Следовательно,

S_MNKLG = S + S1 = S + k = (S + k).

.