Задание олимпиады: Объём пирамиды с равными углами при вершине

Пусть PO – высота данной правильной пирамиды PABCD , M – середина BC . Обозначим BPC = OCP = α . Из прямоугольных треугольников CMP и COP находим, что

PC = = , PC = = .

Откуда получим уравнение cos α = sin . Так как α – острый угол, то cos α > 0и sin > 0. Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

cos 2α = 2 sin 2 , cos 2α = 1 - cos α, cos 2α + cos α - 1 = 0,

откуда cos α = = . Тогда

tg α = = = ,

PO = OC tg α = = .

Следовательно,

V_PABCD = S_ABCD· PO = a2· = .

.