Задача
Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опущены перпендикуляры на боковое ребро и на боковую грань. Эти перпендикуляры равны соответственно a и b. Найдите объем пирамиды. При всяких ли a и b задача имеет решение ?
Решение
Опустим перпендикуляры HP и HQ из основания H высоты DH данной правильной треугольной пирамиды ABCD соответственно на боковое ребро CD и боковую грань ABD. Тогда HP = 2a, HQ = 2b. Пусть $\alpha$ и $\beta$ - углы соответственно бокового ребра и плоскости боковой грани с плоскостью основания ABC, x - сторона основания данной пирамиды, M - середина AB. Из прямоугольных треугольников HPC и HQM находим, что
CH = HP/sin$\displaystyle \angle$DCH, MH = HQ . sin$\displaystyle \angle$DMH,или
x$\displaystyle \sqrt{3}$/3 = 2a/sin$\displaystyle \alpha$, x$\displaystyle \sqrt{3}$/6 = 2b/sin$\displaystyle \beta$,
откуда
sin$\displaystyle \beta$ = (2b/a) . sin$\displaystyle \alpha$, sin2$\displaystyle \beta$ = (4b2/a2) . sin2$\displaystyle \alpha$,
1/sin2$\displaystyle \alpha$ = (4b2/a2)/sin2$\displaystyle \beta$.
Из прямоугольных треугольниковDHCиDHMнаходим, что
DH = CH . tg$\displaystyle \alpha$, DH = MH . tg$\displaystyle \beta$,
откуда
tg$\displaystyle \beta$ = (CH/MH) . tg$\displaystyle \alpha$ = 2 . tg$\displaystyle \alpha$, ctg$\displaystyle \alpha$ = 2 . ctg$\displaystyle \beta$,
ctg2$\displaystyle \alpha$ = 4 . ctg2$\displaystyle \beta$, 1/sin2$\displaystyle \alpha$ - 1 = 4(1/sin2$\displaystyle \beta$ - 1),
(4b2/a2)/sin2$\displaystyle \beta$ - 1 = 4(1/sin2$\displaystyle \beta$ - 1),
(4b2/a2) - sin2$\displaystyle \beta$ = 4(1 - sin2$\displaystyle \beta$),
3 . sin2$\displaystyle \beta$ = 4(1 - b2/a2) = 4(a2 - b2)/a2.
Откуда
sin$\displaystyle \beta$ = 2$\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$/(a$\displaystyle \sqrt{3}$),
sin$\displaystyle \alpha$ = (a/(2b)) . sin$\displaystyle \beta$ = $\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$/(b$\displaystyle \sqrt{3}$),
cos$\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle \sqrt{1 - \sin ^{2}\alpha }$ = $\displaystyle \sqrt{1 - 4(a^{2} - b^{2})/(3b^{2})}$ =
= $\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$/(b$\displaystyle \sqrt{3}$),
x$\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$,
x = 6ab/$\displaystyle \sqrt{a^{2} - b^{2}}$,
DH = HP/cos$\displaystyle \angle$DHP = 2a/cos$\displaystyle \alpha$ = 2ab$\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$.
Следовательно,
V(ABCD) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$S(ABC) . DH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(x2$\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$) =
= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$(36a2b2/(a2 - b2))($\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$) =
= 18a3b3/((a2 - b2)$\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$).
Задача имееи решение, еслиa/2 <b<a.
Ответ
18a3b3/((a2 - b2)$\displaystyle \sqrt{4b^{2} - a^{2}}$).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет