Наибольший объём цилиндра, вписанного в конус. Олимпиадная задача

Обозначим через h и r высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в данный конус с вершиной A (рис.1). Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник ABC с высотой AO = 27и основанием BC = 2· 9 = 18(рис.2). Плоскость ABC пересекает цилиндр, вписанный в конус, по его осевому сечению – прямоугольнику KLMN , где точки K и L лежат соответственно на отрезках AB и AC , а точки M и N – на отрезке BC , причём KL = 2r , KN = LM = h . Пусть P – точка пересечения AO и KL . Треугольник APL подобен треугольнику AOC , поэтому

= , или = ,

откуда r = . Пусть V(h)– объём цилиндра, где0 < h < 27. Тогда

V(h) = π r2h = π ()2h = · (27-h)2h.

Найдём наибольшее значение функции V(h)на промежутке(0; 27):

V'(h) = ·(-2(27-h)h+ (27 - h)2) = ·(27-h)(-2h+27-h)=

=· (27 - h)(27 - 3h) = 0.

Промежутку(0; 27)принадлежит единственный корень ( h = 9) полученного уравнения. Если0 < h < 9, то V'(h) > 0. Поэтому на промежутке(0; 9)функция V(h)возрастает. Если9 < h < 27, то V'(h) < 0. Поэтому на промежутке(9; 27)функция V(h)убывает. Следовательно, в точке h = 9функция V(h)имеет максимум, причём

V_max = V(9) = 182π = 324π.

Пусть V(h)– объём цилиндра, где0 < h < 27. Тогда

V(h) = π r2h = · (27-h)2h = · ( - )2 h

()3 = · 93 = 4π · 81 = 324π,

причём равенство достигается в случае, когда - = h , т.е. при h = 9.

324π .