а) Требуемая перестановка изображена на рисунке.

  б) Введём два "расстояния" между клетками доски:  d₁(a, b)  – наименьшее число ходов коня, необходимых для перехода из клетки a в клетку b,  d₂(a, b)  – аналогичное число для ходов короля. Обозначим через a' и b' клетки, на которые попадают шашки из клеток a и b после перестановки. Тогда рассматриваемое в задаче условие, очевидно, влечёт неравенство  d₁(a, b) ≥ d₂(a', b').  Докажем, что это невозможно.

  Первый способ. Если a' и b' – противоположные угловые клетки, то  d₂(a', b') = 7,  но для любых двух клеток a и b  d₁(a, b) ≤ 6.  Чтобы в этом убедиться, достаточно проверить, что за три хода из любой клетки доски можно попасть в любую центральную клетку противоположного цвета, а за два хода – в одну из центральных клеток того же цвета).

  Второй способ. Количество клеток, отстояших от центральной клетки a на расстояние  d₁ = 2,  как нетрудно проверить, равно 25. Но от клетки a' на расстояние  d₂ ≤ 2  отстоят не более 24 клеток.

а) Можно;  б) нельзя.