Задача
Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.
Решение
Решение 1:Рассмотрим на лучах SA, SB, SC такие точки A1, B1, C1, что SA1·SA = SB1·SB = SC1·SC = 1. Указанные прямые параллельны плоскости A1B1C1. Действительно, пусть AK и BL – высоты грани ASB. Треугольники ASB и LSK подобны (см. зад. 156508). Поэтому
SK : SL = SB : SA = SA1 : SB1, следовательно KL || A1B1.
Решение 2:Указанные прямые параллельны плоскости, касающейся в вершине S описанной сферы тетраэдра. Действительно, касательная l в точке S к описанной окружности треугольника ASB лежит в этой плоскости и составляет со стороной SA угол, равный ∠B = ∠SKL. Значит, KL || l.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь