Олимпиадная задача о карточном фокусе для 8-10 класса — задача Гальперина по комбинаторике
Задача
a) Двое показывают карточный фокус. Первый снимает пять карт из колоды, содержащей 52 карты (предварительно перетасованной кем-то из зрителей), смотрит в них и после этого выкладывает их в ряд слева направо, причём одну из карт кладёт рубашкой вверх, а остальные – картинкой вверх. Второй участник фокуса отгадывает закрытую карту. Докажите, что они могут так договориться, что второй всегда будет угадывать карту. б) Второй фокус отличается от первого тем, что первый участник выкладывает слева направо четыре карты картинкой вверх, а одну не выкладывает. Могут ли и в этом случае участники фокуса так договориться, чтобы второй всегда угадывал невыложенную карту?
Решение
а) Участники заранее договариваются о нумерации всех карты в колоде числами от 1 до 52, и нумерации всевозможных перестановок буквa, b, c, d, eчислами от 1 до 120. Получив пять карт, первый переворачивает любую из них и находит перестановку, соответствующую её номеру. Мысленно обозначив перевёрнутую карту буквойe, а неперевёрнутые – буквамиa, b, c, dв порядке возрастания номеров, первый выкладывает из них нужную перестановку. Посмотрев на выложенную комбинацию карт, второй узнаёт перестановку, а по её номеру – карту. б) Участники заранее договариваются о нумерации всех достоинств карт числами от 1 до 13, и нумерации всевозможных перестановки букв a, b, c от 1 до 6. Получив пять карт, первый выбирает из них две карты P и Q одинаковой масти (такие найдутся, ибо мастей всего четыре). Все 13 карт этой масти мысленно кладутся по кругу в порядке возрастания номеров по часовой стрелке. Пусть от P до Q надо отсчитать по часовой стрелке p карт, а от Q до P – отсчитать q карт. p + q = 13, поэтому ровно одно из слагаемых (скажем, p) не превосходит 6.
Первый начинает ряд с P. Мысленно обозначив остальные карты буквами a, b, c в порядке возрастания номеров, первый далее выкладывает из них комбинацию с номером p.
Посмотрев на выложенную комбинацию карт, второй узнает p, после чего мысленно помещает левую карту в круг карт той же масти и отсчитывает от неё p карт по часовой стрелке.
Ответ
б) Могут.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь