Олимпиадная задача Злобина для 7–9 классов: делимость и неравенства, теория чисел
Задача
Найдите все пары целых чисел (x, y), для которых числа x³ + y и x + y³ делятся на x² + y².
Решение
Пусть d = НОД(x, y). Тогда x = du, y = dv, где u и v взаимно просты. По условию d³u³ + dv делится на d², поэтому v делится на d. Аналогично u делится на d. Значит, d = 1, то есть x и y взаимно просты. Тогда и число x² + y² взаимно просто с y.
Число x(x² + y²) – (x³ + y) = y(xy – 1) делится на x² + y². Поскольку x² + y² и y взаимно просты, то xy – 1 делится на x² + y². Но это возможно только при |xy| ≤ 1. Действительно, в противном случае 0 < |xy – 1| < 2|xy| ≤ x² + y².
Непосредственная проверка всех оставшихся вариантов (x, y = 0, ±1) дает восемь решений (±1, ±1), (0, ±1), (±1, 0).
Ответ
(1, 1), (1, 0), (1, –1), (0, 1), (0, –1), (–1, 1), (–1, 0), (–1, –1).
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь