Задание олимпиады по теории чисел: делимость сумм троек подряд идущих чисел
Задача
Несколько последовательных натуральных чисел выписали в строку в таком порядке, что сумма каждых трёх подряд идущих чисел делится на самое левое число этой тройки. Какое максимальное количество чисел могло быть выписано, если последнее число строки нёчётно?
Решение
Заметим, что если в тройке подряд стоящих чисел левое число чётно, то и сумма чисел этой тройки чётна. Значит, после каждого чётного числа в строке должны стоять два числа одной чётности. В частности, если два чётных числа стоят подряд, то все следующие за ними числа чётны. Но это противоречит условию. Поэтому после каждого чётного числа (кроме, может быть, самого последнего) в строке стоят два нечётных. Следовательно, чётных чисел не более двух (в противном случае количество нечётных чисел было бы по крайней мере на 2 больше, чем количество чётных, что для последовательных чисел невозможно). Поэтому всех чисел не более пяти.
Пять чисел выписать можно, например: 2, 1, 3, 4, 5.
Ответ
5 чисел.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь