Олимпиадная задача Толпыго А. К.: последовательность с условиями на сумму десяти чисел
Задача
Существует ли такая бесконечная последовательность, состоящая из
а) действительных
б) целых
чисел, что сумма любых десяти подряд идущих чисел положительна, а сумма любых первых подряд идущих 10n + 1 чисел отрицательна при любом натуральном n?
Решение
а) Положим a10n = 1 + 2–n (n > 0), a10n+1 = – 1 (n > 0), а на остальные места последовательности поставим нули. Тогда среди любых десяти подряд идущих членов последовательности имеется восемь нулей, одна минус единица, и одно число, большее единицы. Значит, их сумма положительна. А сумма первых 10n + 1 членов равна – 2–n. б) Рассмотрим произвольную последовательность {ak} целых чисел. Возьмём n > |a1|. Если сумма любых десяти идущих подряд членов положительна, то она не меньше 1. Поэтому сумма a2 + a3 + ... + a10n+1 не меньше n. Значит, сумма 10n + 1 первых членов положительна.
Ответ
а) Существует; б) не существует.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь