Олимпиадная задача: Слава и Валера, доказательство совпадения произведений чисел
Задача
Cлава перемножил первые n натуральных чисел, а Валера перемножил первые m чётных натуральных чисел (n и m больше 1). В результате у них получилось одно и то же число. Докажите, что хотя бы один из мальчиков ошибся.
Решение
У Славы получилось число n!, a у Валеры – число 2·4·6·...·(2m) = 2m·m!. Предположив, что они равны и разделив на m!, получим
2m = (m + 1)(m + 2)...(n – 1)n. Так как m > 1, то все множители в правой части больше единицы. Но среди первых двух множителей один нечётный, что невозможно. Следовательно, произведение сводится к одному множителю, то есть 2m = m + 1.
Но 2m = (2m–1 + 2m–2 + ... + 2 + 1) + 1 > (1 + 1 + ... + 1 + 1) + 1 = m + 1. Противоречие.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь