Олимпиадная задача по принципу Дирихле: трудные задачи и отличники — задача Шеня А. Х.
Задача
а) В классе была дана контрольная. Известно, что по крайней мере ⅔ задач этой контрольной оказались трудными: каждую такую задачу не решили по крайней мере ⅔ школьников. Известно также, что по крайней мере ⅔ школьников класса написали контрольную хорошо: каждый такой школьник решил по крайней мере ⅔ задач контрольной. Могло ли такое быть? Изменится ли ответ, если везде в условии заменить ⅔ на б) ¾; в) 7/10?
Решение
а) Пример. Пусть на контрольной было три задачи, треть школьников решила первую и третью, треть – вторую и третью, остальные – ничего. б) Нарисуем на единичном квадрате таблицу, где строки соответствуют ученикам, а столбцы – задачам; при этом школьникам, написавших контрольную хорошо, отведём верхние строки, а трудным задачам – левые столбцы. Если школьник решил задачу, то клетку на пересечении соответствующих строки и столбца сделаем чёрной.
Оценим площадь чёрной области двумя способами. Уже в строках хороших учеников закрашено не менее ¾·¾ = 9/16. С другой стороны, в столбцах трудных задач закрашено не более ¼·¾, в остальных столбцах – всего не более ¼, итого не более 7/16. Противоречие. в) Нарисуем и закрасим таблицу, как в б). Оценим двумя способами площадь S чёрной области, расположенной в левом верхнем углу – квадрате 0,7×0,7. Каждая строка пересекает эту область по прямоугольникам одинаковой высоты с суммой длин не меньшей 0,7 – 0,3, следовательно, S ≥ 0,7·0,4 = 0,28.
С другой стороны, каждый столбец пересекает эту область по прямоугольникам с суммой высот, не большей 0,3, следовательно, S ≤ 0,3·0,7 = 0,21. Противоречие.
Ответ
а) Могло. б), в) Изменится.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь