Олимпиадная задача на доказательство неравенства для сторон треугольника (Сендеров В. А.)
Задача
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a³ + b³ + 3abc > c³.
Решение
Первый способ. Согласно неравенству треугольника a > c – b. Поэтому a³ + b³ + 3abc – c³ > (c – b)³ + b³ + 3(c – b)bc – c³ = 0. Второй способ. Согласно неравенству треугольника a + b > c. Кроме того, a² – ab + b² > 0. Поэтому
a³ + b³ + 3abc = (a + b)(a² – ab + b²) + 3abc > c(a² – ab + b²) + 3abc = c(a + b)² > c².
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет