Задание олимпиады по математике: 12 монет вдоль квадратной коробки, 6

Задача

Можно ли расположить 12 одинаковых монет вдоль стенок большой квадратной коробки так, чтобы вдоль каждой стенки лежало ровно

а) по 2 монеты;	б) по 3 монеты;	в) по 4 монеты;
г) по 5 монет;	д) по 6 монет;	е) по 7 монет?

(Разрешается класть монеты одну на другую.) В тех случаях, когда это возможно, нарисуйте, как это сделать. В остальных случаях докажите, что так расположить монеты нельзя.

Решение

а) Так как по условию все монеты нужно положить вдоль стенок, и каждой стенки касается ровно две монеты, то общее количество монет — не больше 8. б)—д) Примеры требуемых расположений приведены на рисунке е) Заметим, что монета не может касаться двух противоположных стенок коробки. Поэтому общее число монет, касающихся двух противоположных стенок, равно 7 + 7 = 14 > 12.

Ответ

а), е) нет; б), в), г), д) да.

Олимпиадная задача: размещение 12 монет по сторонам квадратной коробки, комбинаторная геометрия

Задача

Решение

Ответ

Подтверждение удаления