Геометрическое место точек с остроугольным треугольником ABC — олимпиадная задача по планиметрии

Проведем через точкуAпрямую, перпендикулярную отрезкуAB. Ясно, что$\angle$BAC< 90^oтогда и только тогда, когда точкиBиCлежат по одну сторону от этой прямой. Теперь понятно, что множество таких точек, что$\angle$A< 90^oи$\angle$B< 90^o, есть полоса, границы которой проходят через точкиAиBи перпендикулярны отрезкуAB(рис.  1а). Построим окружность на отрезке AB как на диаметре. Если точка C лежит на этой окружности, то $\angle$ACB = 90^o, если внутри, то этот угол тупой, если снаружи - острый. Значит, геометрическое место таких точек C, что треугольник ABC остроугольный, совпадает с множеством, заштрихованным на рис.  1б).

1а)

1б)

Условие, что угол A средний по величине, можно записать как $\angle$B$\le$$\angle$A$\le$$\angle$C или $\angle$C$\le$$\angle$A$\le$$\angle$B.

Так как против большего угла лежит большая сторона, условие $\angle$B$\le$$\angle$A$\le$$\angle$C эквивалентно условию

Рассмотрим серединный перпендикуляр к отрезкуAB. Точки этого перпендикуляра равноудалены от точекAи B. Точки, лежащие по ту же сторону от перпендикуляра, что и точкаA, ближе к точкеA, чем к точкеB. Значит, геометрическое место таких точекC, чтоAC$\le$BC, есть полуплоскость, отсекаемая серединным перпендикуляром, и содержащая точку A. Рассмотрим круг, с центром в точке B и радиусом AB. Условие BC$\le$AB равносильно тому, что точка C лежит внутри этого круга. Итак, геометрическое место точек, удовлетворяющих условию (1 ), есть множество, изображенное на рис.  2а).

Аналогично, условие $\angle$C$\le$$\angle$A$\le$$\angle$B эквивалентно условию AB$\le$BC$\le$AC, и соответствующее геометрическое место точек изображено на рис.  2б). Объединяя множества, изображенные на рис.  2а) и 2б), получим геометрическое место таких точек C, что в треугольнике ABC угол A - средний по величине (рис.  2в).

Осталось нарисовать пересечение ГМТ на рис.  2в) с ГМТ на рис.  2б).

2а)

2б)

2в)

Ответ задачи отсутствует