Назад

Олимпиадная задача по тригонометрии для 10-11 классов от Канеля-Белова А. Я.

Задача 207995 • Сложность: 2 • 10-11 класс
Задача

Известно, чтоtg $\alpha$+tg $\beta$=p,ctg $\alpha$+ctg $\beta$=q. Найти tg ($\alpha$+$\beta$).

Авторы:
Канель-Белов А. Я.
Разделы:
Тригонометрия
Источники:
Московская математическая олимпиада 1993 год 11 класс Олимпиады и турниры
Количество версий:
4
Решение

Еслиtg ($\alpha$+$\beta$) определен, то

tg ($\displaystyle \alpha$+$\displaystyle \beta$) = $\displaystyle {\frac{{\rm tg\ }{\alpha}+{\rm tg\ }{\beta}}{1-{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{p}{1-{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$. (2)
Произведение тангенсов связано сpиqследующим образом:
q = $\displaystyle {\frac{1}{{\rm tg\ }{\alpha}}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{{\rm tg\ }{\alpha}+{\rm tg\ }{\beta}}{{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$ = $\displaystyle {\frac{p}{{\rm tg\ }{\alpha}\cdot{\rm tg\ }{\beta}}}$. (3)
Из ( ) получаем, чтоpиqлибо одновременно равны нулю, либо одновременно не равны. 1o. Если p = 0 и q = 0, то из (1) получаем tg ($\alpha$+$\beta$) = 0. При этом надо проверить, что знаменатель в (1) не равен нулю. Действительно:
tg $\displaystyle \alpha$ + tg $\displaystyle \beta$ = 0  $\displaystyle \Rightarrow$  tg $\displaystyle \alpha$ = - tg $\displaystyle \beta$  $\displaystyle \Rightarrow$  1 - tg $\displaystyle \alpha$ . tg $\displaystyle \beta$ = 1 + tg 2$\displaystyle \alpha$ > 0.
2o. Если p$\ne$ 0, q$\ne$ 0 и p$\ne$q, то из (2) получаем tg $\alpha$ . tg $\beta$ = ${\frac{p}{q}}$ и из (1) tg ($\alpha$+$\beta$) = ${\frac{pq}{q-p}}$.

3o. Если p$\ne$ 0, q$\ne$ 0 и p = q, то tg ($\alpha$+$\beta$) не определен.

4o. Если p = 0 или q = 0, но p$\ne$q, то условие задачи противоречиво.

Ответ

Ответ задачи отсутствует

Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь

Войти Зарегистрироваться
Комментариев нет