Олимпиадная задача по планиметрии: угол XOY в треугольнике ABC, задача Федотова А.

  Заметим, что  AC = AB + AD > AB,  поэтому биссектриса AO угла BAC проходит между сторонами угла BAD . Следовательно, точка O лежит внутри треугольника ABD и S_ABD = S_OAB + S_OBD + S_AOD.

  Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, то  2S_ABD = 2(S_OAB + S_OBD + S_AOD) = S_ABC,  то есть  2r(AB + BD) + 2dAD = r(AB + BC + AC).  Поскольку  AC = AB + AD  и  BC = 2BD,  то  2dAD = r(AB + BC + AC) – 2r(AB + BD) = r(AC – AB) = rAD.  Поэтому  2d = r,  то есть высота равнобедренного треугольника XOY, опущенная на основание XY, равна половине боковой стороны  OX = OY = r.  Следовательно,  ∠XOY = 120°.

120°.