Олимпиадная задача по планиметрии: геометрическое место точек в равностороннем треугольнике для классов 8–9

  Выберем произвольную точку A' внутри стороны BC и проведём отрезок AA'. Очевидно, что среди отрезков с началом в точке C и концом на стороне AB имеются только два, равных отрезку AA'. Это такие отрезки CC₁ и CC₂, что  ∠C₁CA = ∠C₂CB = ∠A'AC  (см. рис.).

  Рассмотрим точкиP₁иP₂пересеченияAA'c прямымиCC₁иCC₂соответственно. ТочкаP₁лежит на высоте треугольникаABC, проведённой из вершиныB, а для точкиP₂имеем:  ∠AP₂C= 180° – ∠A'AC– ∠C₂CA= 180° – ∠A'AC– (60° – ∠A'AC) = 120°,  то есть отрезокACвиден из точкиP₂под углом 120°. Значит, геометрическое место точекP₂– это дуга окружности (без концовAиC). На этой же дуге лежит центрOтреугольникаABC. Проводя приведённые рассуждения в обратном порядке, убедимся, что все точки дугиAOCудовлетворяют условию задачи.

Фигура, состоящая из высоты BH (без точек B и H) и дуги AOC (без точек A и C).