Олимпиадная задача по планиметрии: углы и биссектрисы в треугольнике ABC (8-9 класс)

Решение 1:Точка E равноудалена от прямых AD, BC и AB, поскольку она лежит на биссектрисах DE и BE углов ADC и ABC. Значит, E – центр вневписанной окружности треугольника ADB. Поэтому точка E лежит на биссектрисе внешнего угла при вершине A треугольника ABD, а так как AD – биссектриса угла BAC, то лучи AE и AD делят развёрнутый угол с вершиной A на три равных угла. Следовательно, каждый из них равен 60°, а  ∠A = 120°.

Решение 2:Проведём через вершину B прямую, параллельную AD, до пересечения с прямой AC в точке G. Заметим, что  ∠GBA = ∠BAD = ∠DAE = ∠BGC,  то есть треугольник BAG равнобедренный  (AB = AG).  Как известно, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применяя это свойство к биссектрисам DE и BE, получим  DA : DC = AE : EC = BA : BC.  Но  DA : DC = BG : BC  (треугольники ACD и GCB подобны). Значит,  BA = BG  и треугольник BAG – равносторонний. Поэтому  ∠BAG = 60°.

120°.