Олимпиадная задача по планиметрии для 8–9 классов: биссектрисы и параллелограмм KLMN
Задача
В плоскости выпуклого четырёхугольника ABCD расположена точка P. Проведены биссектрисы PK,PL, PM и PN треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно.
а) Найдите хотя бы одну такую точку P, для которой четырёхугольник KLMN – параллелограмм.
б) Найдите все такие точки.
Решение
Пользуясь свойством биссектрисы треугольника, заметим, что если
AP = PC, то AK : KB = AP : PB = CP : PB = CL : AC, и, значит, KL || AC. Аналогично MN || AC. Таким образом, если в качестве P взять точку пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям AC и BD, то есть так, что AP = CP и BP = DP, то KL || AC || MN и LM || BD || KN . Следовательно, KLMN – параллелограмм. 
Других таких точек в плоскости четырёхугольника ABCD нет. В самом деле, пусть AP > CP. Тогда AK/KB = AP/PB > CP/PB = CL/AC, поэтому точка K отрезка AB расположена от прямой AC дальше, чем L. Аналогично, точка N расположена от прямой AC дальше, чем M. Таким образом, если провести из точек K и N прямые, параллельные AC, то отрезки KL и MN будут идти между этими прямыми, приближаясь к AC, и не могут быть параллельны друг другу.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь