Олимпиадная задача по планиметрии: вписанный четырёхугольник и описанный BLCK

Будем считать, что точка K лежит внутри треугольника AOD (все остальные случаи разбираются аналогично). Пусть L' – точка, симметричная точке L относительно прямой BC (рис.1). Тогда

L'BO = OBC- L'BC = OBC - LBC,

но OBC = OAD , т.к. четырёхугольник ABCD вписанный, следовательно,

L'BO = OAD- KAD = OAK = OBK,

т.к. четырёхугольник ABOK вписанный. Аналогично L'CO = OCK .

Поскольку четырёхугольники ABCD , ABOK и CDKO вписанные, то

BKO = BAO = CDO = CKO.

Рассмотрим четырёхугольник BL'CK (рис.2). Пусть N – точка пересечения CK и BL' , а M – точка пересечения BK и CL' . По ранее доказанному CO , BO и KO – биссектрисы углов NBK , MCK и MKN , поэтому точка O равноудалена от сторон четырёхугольника ML'NK , т.е. является центром вписанной в него окружности. Пусть P , Q , R , T – точки касания этой окружности со сторонами ML' , L'N , NK и KM соответственно. Тогда

CK+BL'=(CR+KR)+(BQ-L'Q)=CP+KT+BT-L'P =

=(KT+BT)+(CP-L'P)= KB+CL'.

Значит, CK+BL=KB+CL . Следовательно, и четырёхугольник BLCK является описанным, что и требовалось доказать.

Ответ задачи отсутствует